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{$LastChangedDate: 2009-05-25 05:09:16 +0000 (Mon, 25 May 2009) $}
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\chapter{Teorema de cambio de variable} \label{ch:09}



\section{Demostración}


\begin{theorem}
  Sea  $g:D\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$, con  $D$  conjunto abierto y acotado. Sea  $B\subset \mathbb{R}^{2}$  conexo tal que  $B\cup \partial B\subset D$. Supongamos que  $B$  es Jordán medible,  $g$ es uno a
uno en $intB$ y sobre en $B$, $\left\vert \det Dg\right\vert \neq 0$ en $intB $ ; y, en  $A$  ocurre que  $g$  es de clase  $C^{1}$. Si  $f:\Omega =g(B)\rightarrow \mathbb{R}$  es
continua y acotada en  $\Omega $, entonces  $f$  es
integrable y 
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{g(B)} f= \int_{B} \left( f\circ g\right) \left\vert \det Dg\right\vert  .
\]
\end{theorem}


\textbf{Demostración}. Primero vamos a suponer que $f(\overline{\xi })\geq 0$, para todo $\overline{\xi }\in g(B)$.

Tenemos que $g$ y $B$ cumplen las hipótesis de la \resaltar{proposición$\star $}
entonces $g(B)=\Omega $ tiene área (es J-m); y como $f$ es continua y
acotada en $\Omega $, es integrable en $\Omega $; además, $g$ es
continua y acotada en $B$ que es J-m, por tanto $f\circ g$ es continua y
acotada sobre el conjunto Jordán medible $B$; así, $f\circ g$ es
integrable en $B$. Sólo resta demostrar la igualdad.

\bigskip

Como $D$ es acotado, lo podemos encerrar en un cuadrado $R$ ($B\subset
D\subset R$). Sea $\varepsilon >0$. Como $g\in C^{1}$, existe una partición $P$ de $R$ (la construida en el resultado \ref{eq:B1} del capítulo anterior), que induce subcuadrados $S_{ik}$, tal que la
diferencia de las parciales de $g$ evaluadas en cualesquiera dos puntos de $S_{ik}$ es menor que $\varepsilon $ y para cada $S_{ik}\subset D$ ocurre que
\[
 \left\vert \det Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}-32K^{2}\mu
_{ik}\varepsilon 
\]
\[
 \leq A(g(S_{ik}))
\]
\[
\leq \left\vert \det Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}+32K^{2}\left( \pi
\varepsilon +\mu _{ik}\right) \varepsilon .
\]


Sea $(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })$ cualquier punto en $g(S_{ik})$. En la desigualdad anterior, multiplicamos todo por $f(\xi _{i}^{\prime
},\eta _{k}^{\prime })\geq 0$, entonces:
\[
f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })\left\vert \det
Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}-f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime
})32K^{2}\mu _{ik}\varepsilon 
\]
\[
 \leq f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })A(g(S_{ik}))
\]
\[
\leq f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })\left\vert \det
Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}+f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime
})32K^{2}\left( \pi \varepsilon +\mu _{ik}\right) \varepsilon .
\]


\noindent Metemos sumas:
\[
\underset{S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime
})\left\vert \det Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}-\underset{S_{ik}\subset
intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })32K^{2}\mu
_{ik}\varepsilon 
\]
\[
 \leq \underset{g(S_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime
},\eta _{k}^{\prime })A(g(R_{ik}))
\]
\[
\leq \underset{S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta
_{k}^{\prime })\left\vert \det Dg(x_{i},y_{k})\right\vert K^{2}+\underset{S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime
})32K^{2}\left( \pi \varepsilon +\mu _{ik}\right) \varepsilon .
\]


\noindent Sea

\noindent $M=\max \left\{ \mu \in \mathbb{R}\mid \mu \text{ es cota de }\left\vert \frac{\partial g(x_{1},x_{2})}{\partial x_{i}}-\frac{\partial
g(y_{1}y_{2})}{\partial y_{i}}\right\vert \text{, }i=1,2\text{, }\forall 
\text{ }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in B\right\} \medskip $

\noindent Como las desigualdades anteriores se cumplen para toda partición $Q$ refinamiento de $P^{\prime }$; entonces,
\[
  \int_{B} f(\xi ,\eta )\left\vert \det Dg(x,y)\right\vert -\left( 
\int _{B} f(\xi ,\eta )\right) 32M\varepsilon 
\]
\[
 \leq \underset{g(R_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime
},\eta _{k}^{\prime })A(g(R_{ik}))
\]
\[
\leq \int_{B} f(\xi ,\eta )\left\vert \det Dg(x,y)\right\vert
+\left( \int_{B} f(\xi ,\eta )\right) 32(\pi \varepsilon
+M)\varepsilon .
\]


\noindent La integral de $f(\xi ,\eta )$ sobre $B$, es la integral de la
composición $f\circ g$ (pues $\left( \xi ,\eta \right) =g(\overline{x})$), que ya vimos que existe.

\bigskip

Nótese que al refinar y refinar la partición $P$ la diferencia de
las parciales de $g$ evaluadas en dos puntos de cada $S_{ik}$, se va
haciendo más y más pequeña; esto es, podemos hacer $\varepsilon $
tan pequeña como queramos. Por tanto:
\[
  \int_{B} f(\xi ,\eta )\left\vert \det Dg(x,y)\right\vert 
\]
\[
 \leq \underset{g(R_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime
},\eta _{k}^{\prime })A(g(R_{ik}))
\]
\[
\leq \int_{B} f(\xi ,\eta )\left\vert \det Dg(x,y)\right\vert .
\]


Con respecto a las desigualdades anteriores, en los extremos metimos sumas
sobre los $S_{ik}$ y en la parte central, hicimos la suma sobre los
correspondientes $g(S_{ik})$ Esto lo podemos hacer, pues el diámetro de $S_{ik}$ tiende a cero si, y sólo sí, el diámetro de $g(R_{ik})$
tiende a cero ($obs3$ del capítulo anterior).

Obsérvese que si $(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })$ es cualquier
punto en $g(R_{ik})\subset g(B)$, entonces existe $(x_{i}^{\prime
},y_{k}^{\prime })\in S_{ik}\subset B$, tal que
\[
(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })=(g_{1}((x_{i}^{\prime
},y_{k}^{\prime }),g_{2}(x_{i}^{\prime },y_{k}^{\prime }))=g(x_{i}^{\prime
},y_{k}^{\prime }).
\]
\noindent por lo que
\[
f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime })=f(g_{1}((x_{i}^{\prime
},y_{k}^{\prime }),g_{2}(x_{i}^{\prime },y_{k}^{\prime }))=\left( f\circ
g\right) (x_{i}^{\prime },y_{k}^{\prime })
\]


\noindent Entonces tenemos
\begin{multline} \label{eq:circledS}
\int _{B} \left( f\circ g\right) \left( \overline{x}\right)
\left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert  \\
\leq \underset{g(R_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta _{k}^{\prime
})A(g(S_{ik})) \\
\leq \int_{B} \left( f\circ g\right) \left( 
\overline{x}\right) \left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert 
\end{multline}


Si demostramos la siguiente igualdad,
\begin{equation} \label{eq:igualdad}
\underset{g(R_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\xi _{i}^{\prime },\eta
_{k}^{\prime })A(g(R_{ik}))= \int_{g(B)} f(\xi ,\eta )  
\end{equation}

\noindent tendríamos:
\[
 \int_{B} \left( f\circ g\right) \left( \overline{x}\right)
\left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert = \int_{g(B)} f(\xi
,\eta )
\]


\noindent con lo que termina nuestra demostración. Vamos a demostrar la
igualdad \ref{eq:igualdad}. Por las propiedades de la integral, tenemos que:
\[
 \int_{g(B)} f(\xi ,\eta ) =
\sum_{g(S_{ik}),S_{ik}\subset intB} \left( \int_{g(S_{ik})} f(\xi _{ik},\eta _{ik})\right) 
\]

\noindent Como $f$ es continua en $g(S_{ik})$ que es conexo, por el teorema
del valor medio (propiedad 7), tenemos que existe $\overline{\varsigma }_{ik}\in g(S_{ik})$ tal que
\[
\int_{g(S_{ik})} f(\xi _{ik},\eta _{ik})=f(\overline{\varsigma }_{ik})A(g(S_{ik}))
\]

\noindent entonces
\[
 \int_{g(B)} f(\xi ,\eta )=\underset{g(S_{ik}),S_{ik}\subset intB}{\sum }f(\overline{\varsigma }_{ik})A(g(S_{ik}))
\]

\noindent Como al principio tomamos cualquier $(\xi _{i}^{\prime },\eta
_{k}^{\prime })\in g(S_{ik})$, las desigualdades \ref{eq:circledS} se cumplen si
tomamos $\overline{\varsigma }_{ik}$, por tanto:
\[
 \int_{B} \left( f\circ g\right) \left( \overline{x}\right)
\left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert \leq \underset{g(R_{ik}),S_{ik}\cap \overline{B}\neq \varnothing }{\sum }f(\overline{\varsigma }_{ik})A(g(S_{ik}))\leq \int_{B} \left( f\circ g\right)
\left( \overline{x}\right) \left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert 
\]


\noindent y
\[
  \int_{g(B)} f(\xi ,\eta )= \int_{B} \left( f\circ
g\right) \left( \overline{x}\right) \left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert 
\]



Ahora, supongamos que $f$ no es mayor o igual que cero; es decir, $f$ es
negativa o cambia de signo. Definimos las funciones $f^{+},f^{-}:g(B)\rightarrow \mathbb{R}$ como
\[
f^{+}(\overline{\xi })=\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(\overline{\xi })\text{,} & f(\overline{\xi })\geq 0 \\ 
0\text{,} & f(\overline{\xi })<0\end{array}\right. \text{\ \ \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ \ \ \ \ }f^{-}(\overline{\xi })=\left\{ 
\begin{array}{ll}
-f(\overline{\xi })\text{,} & f(\overline{\xi })\leq 0 \\ 
0\text{,} & f(\overline{\xi })>0\end{array}\right. 
\]


\noindent Estas funciones son positivas, continuas y acotadas en el conjunto
Jordán medible $g(B)$ (por tanto integrables), y para todo $\overline{\xi }\in g(B)$, tenemos que $f(\overline{\xi })=f^{+}(\overline{\xi })-f^{-}(\overline{\xi })$, entonces:
\[
  \int_{g(B)} f(\xi ,\eta )= \int_{g(B)} f^{+}(\xi ,\eta )- \int_{g(B)} f^{-}(\xi ,\eta )
\]
\[
= \int_{B} \left( f^{+}\circ g\right) \left( \overline{x}\right)
\left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert - \int_{B} \left(
f^{-}\circ g\right) \left( \overline{x}\right) \left\vert \det Dg(\overline{x})\right\vert \Diamond .
\]


\textbf{Observación. }El teorema de camio de variables, se generaliza a
funciones $g:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ y $f:g(B)=\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, ($B\cup
\partial B\subset D$); el enunciado es el mismo, sólo hay que cambiar $\mathbb{R}^{2}$ por $\mathbb{R}^{n}$. Todos los resultados usados en la
demostración que hemos expuesto para el caso de $n=2$, son resultados válidos en $\mathbb{R}^{n}$. El lector puede generalizar la demostración o revisarla en el Sagan, donde se formula como \textit{Teorema de
Jacobi}$.$ Otros autores hacen una demostración distinta para el caso de 
$n=2$ y luego la generalizan a $\mathbb{R}^{n}$ por inducción. Por
ejemplo M. Spivak demuestra algo parecido a la proposición$\star $ del
capítulo anterior, usando resultados del análisis (introduce lo que
llama \emph{particiones de la unidad}). Apostol da otra demostración
utilizando el teorema de Green. Courant, hace el cambio de variables de un
plano $P_{xy}$ a un plano $P_{uv}$ en dos pasos, primero con las ecuaciones $x=x$ y $y=\Phi (v,x)$, y luego da una segunda transformación $x=\Psi
(u,v)$ y $v=v$, y sigue la idea de Spivak. La demostración aquí
expuesta retoma ideas seguidas por Sagan y las planteadas por Courant en los
apéndices A3a y A3b de su libro.

\bigskip

\textbf{NOTA. }Courant comenta que este teorema sigue siendo válido si
en lugar de pedir que $\det Dg\neq 0$ en todo punto del interior de $B$, se
permite que $\det Dg=0$ en un conjunto $F$ de contenido cero, contenido en $B $. En tal caso, la idea de la demostración es que dada $\varepsilon >0$, podemos cubrir $F$ con rectángulos cuya suma de sus volúmenes es
menor que $\varepsilon $; los resultados son válidos en $B$ menos la unión de esos rectángulos y luego se hace tender $\varepsilon $ a cero.

Michael Spivak, en \textit{Cálculo en variedades}, establece que la
condición $\det Dg\neq 0$, puede ser eliminada utilizando el teorema de
Sard, que aquí sólo enunciaremos.


\begin{theorem}[de Sard]
   Sea  $g:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$  continuamente diferenciable, con  $A $  abierto; y sea 
\[
S=\left\{ \overline{x}\in A\mid \det Dg(\overline{x})=0\right\}  . 
\]
 Entonces  $g(S)$  es un conjunto de medida cero. 
\end{theorem}



\section{Fórmula general para integrar cambiando variables con
coordenadas cilíndricas}


En la sección \resaltar{4.1} del capítulo anterior vimos que si $\Omega
=g(R)\subset \mathbb{R}^{3}$, donde $g$ es un cambio de variables en
coordenadas cilíndricas: $g(r,\theta ,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta
,z) $, entonces
\[
 A(g(R))= \int_{\Omega =g(R)} 1= \int_{R} \left\vert \det
Dg\right\vert = \int_{R} r
\]


\noindent Por tanto, si $f:\Omega \subset \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$, y $\Omega $ se puede expresar en coordenadas cilíndricas, entonces
la fórmula general para integrar $f$ sobre $\Omega $, está dada por
\[
  \int_{\Omega =g(R)} f= \int_{R} f(r\cos \theta ,r\sin
\theta ,z)r
\]


\section{Fórmula general para integrar cambiando variables con
coordenadas esféricas}


En la sección \resaltar{4.1.} del capítulo anterior vimos que si $\Omega
\subset \mathbb{R}^{3}$ se puede expresar en coordenadas esféricas (con
un cambo de variables

\noindent $g(\theta ,\alpha ,\rho )=(\rho \cos \alpha \cos \theta ,\rho \cos
\alpha \sin \theta ,\rho \sin \alpha )$), entonces
\[
 A(g(R))= \int_{g(R)} 1= \int_{R} \left\vert \rho ^{2}\cos
\alpha \right\vert = \int_{R} \left\vert \det Dg\right\vert 
\]

Si $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y $\Omega $ se puede expresar en
coordenadas esféricas, entonces la formula general para integrar $f$
sobre $\Omega $ nos queda:
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{R} f((\rho \cos \alpha \cos
\theta ,\rho \cos \alpha \sin \theta ,\rho \sin \alpha ))\left\vert \rho
^{2}\cos \alpha \right\vert 
\]




\section{Ejemplos}


1. Encontrar la integral de $f(x,y)=x+y$, sobre el paralelogramo de vértices en $(0,0)$, $\left( 1,1\right) $, $\left( 3,1\right) $, y $\left(
2,0\right) $.

Se trata del paralelogramo del ejemplo (a) de la sección 4.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 231pt;original-height 88pt;
\includegraphics[width=353pt,height=137pt]{./img-old/09/HYVU3D00}
\caption{figura 135}
\end{figure}

Tomando $g(u,v)=(u+v,v)=(x,y)$, $g$ transforma el rectángulo $R=\left[
0,2\right] \times \left[ 0,1\right] $ en el paralelogramo, que designaremos
con la letra $\Omega $; además, $\det Dg(u,v)=1>0$, entonces
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{R} \left( f\circ g\right)
\left\vert \det Dg\right\vert = \int_{R} f((u+v,v))1
\]
\[
 = \int_{R} u+v+v=\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{2} \left( u+2v\right) du\right) dv
\]
\[
 =\int_{0}^{1} \left( 2+4v\right) dv=4
\]


2. Integrar $f(x,y)=x$ sobre el conjunto
\[
\Omega =\left\{ 
\begin{array}{c}
(x,y)\mid y=x^{2}\text{ para }-1\leq x\leq 0\text{ y }0\leq y\leq 1 \\ 
\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }x=y^{2}\text{ para }0\leq x\leq 1\text{ y }0\leq
y\leq 1 \\ 
\left( x-1\right) ^{2}=y-1\text{ para }0\leq x\leq 1\text{ y }1\leq y\leq 2
\\ 
\left( y-1\right) ^{2}=x+1\text{ para }-1\leq x\leq 0\text{ y }1\leq y\leq 2\end{array}\right\} 
\]


\noindent Se trata del conjunto $\Omega $ del ejemplo \resaltar{(b) de la sección
3}, en el capítulo anterior. Entonces tomamos $g(u,v)=(u^{2}-v,u+v^{2})$.

Esta función nos transforma el rectángulo $R=\left[ 0,1\right]
\times \left[ 0,1\right] $ en $\Omega $. Como $\left\vert \det
Dg(u,v)\right\vert =4uv+1>0$, entonces
\[
  \int_{\Omega =g(R)} f= \int_{R} f((u^{2}-v,u+v^{2})\left( 4uv+1\right) )
\]
\[
 =\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \left( u^{2}-v\right) \left( 4uv+1\right) du\right) dv
\]
\[
 =\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \left( 4uv^{3}+u^{2}-4uv^{2}-v\right) du\right) dv
\]
\[
 =\int_{0}^{1} \left( v+\frac{1}{3}-2v^{2}-v\right) dv
\]
\[
 =\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}
\]


3. Integrar $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, sobre el conjunto
\[
 \Omega =\left\{ \left( x,y\right) \mid 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\text{; con }x,y\geq 0\right\}  .
\]


El conjunto $\Omega $ es el mismo del ejemplo \resaltar{(c) de la sección 3} en el
capítulo anterior. Entonces cambiamos a coordenadas polares, $g(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ que nos manda el rectángulo $[1,2]\times \lbrack 0,\frac{\pi }{2}]$ en $\Omega $.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 231pt;original-height 92pt;
\includegraphics[width=251pt,height=101pt]{./img-old/09/HYVU3D02}
\caption{figura 137}
\end{figure}

Como $\left\vert \det Dg(r,\theta )\right\vert =r>0$, entonces
\[
  \int_{\Omega =g(R)} f= \int_{R} f((r\cos \theta ,r\sin
\theta ))r
\]
\[
=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \left( \int_{1}^{2} \left( r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \right)
rdr\right) d\theta =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \left( 
\int_{1}^{2} r^{3}dr\right) d\theta 
\]
\[
 =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \left( \frac{2^{4}}{4}-\frac{1}{4}\right) d\theta =\frac{2^{4}}{4}\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}2\frac{\pi }{2}=\frac{15}{8}\pi 
\]



4. Integrar $f(x,y)=\cos \left( \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) $, sobre el
disco unitario sin la frontera, es decir,
\[
\Omega =\left\{ (x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\} 
\]

Cambiamos a coordenadas polares, $g(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, con $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$; entonces tomamos $R=(0,1]\times \lbrack -\pi
,\pi )$. Así, $g(R)=$disco unitario.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 208pt;original-height 177pt;
\includegraphics[width=213pt,height=182pt]{./img-old/09/HYVU3D03}
\caption{figura 146}
\end{figure}

Tenemos $\left\vert \det Dg(r,\theta )\right\vert =r>0$; y
\[
 f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\cos \left( \pi \sqrt{r^{2}\cos ^{2}\theta
+r^{2}\sin ^{2}\theta }\right) =\cos \left( \pi r\right) 
\]

\noindent entonces
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{R} \cos \left( \pi r\right) r
\]

Sea
\[
h(r,\theta )=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\cos \left( \pi r\right) r & \text{si }(r,\theta )\in R \\ 
0 & \text{si }(r,\theta )\notin R\end{array}\right. 
\]


\noindent Tomamos $R^{\prime }=[0,1]\times \lbrack -\pi ,\pi ]\supset R$;
entonces,
\[
 \int_{R} \cos \left( \pi r\right) r= \int_{R^{\prime }} h
\]

Sea
\[
 A=\left\{ (r,\theta )\mid r=0\text{ y }-\pi \leq \theta \leq \pi \right\}
\cup \left\{ (r,\theta )\mid 0\leq r\leq 1\text{ y }\theta =\pi \right\} 
\]

\noindent Nótese que $h(r,\theta )=0$ para todo $(r,\theta )\in A$

Como $R^{\prime }=\left( R^{\prime }-A\right) \cup A$, y $\left( R^{\prime
}-A\right) \cap A=\varnothing $; entonces, por la propiedad 6 de la integral
(capítulo \ref{ch:05}),
\[
 \int_{R^{\prime }} h = \int_{R^{\prime }-A} h + \int_{A} h = \int_{R^{\prime }-A} \cos \left( \pi r\right) r+ \int_{A} 0
\]
\[
 = \int_{R^{\prime }-A} \cos \left( \pi r\right) r= \int_{R} \cos (\pi r)r
\]
entonces,
\[
  \int_{\Omega } f=\int_{R^{\prime }} \cos \left( \pi
r\right) r=\int_{-\pi }^{\pi } \left( \int_{0}^{1} \cos \left( \pi r\right) rdr\right) d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \left( \int_{0}^{1} \cos \left( \pi r\right) rdr\right) d\theta =\int_{0}^{2\pi } \left( \frac{r}{\pi }\sin (\pi r)+\frac{1}{\pi ^{2}}\cos (\pi
r)\right) _{0}^{1}d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \frac{-2}{\pi ^{2}}d\theta =\frac{-4\pi }{\pi ^{2}}=\frac{-4}{\pi }
\]


5. Calcular la integral de $f(x,y)=e^{\frac{y-x}{y+x}}$ sobre el triángulo $\Omega $ delimitado por los ejes $x$ y $y$, y la recta $y=2-x$.

Tenemos que $\Omega $ es el triángulo que aparece a la derecha en la
figura de abajo. Hacemos $u=y-x$ y $v=y+x$ y definimos $h(x,y)=(u,v)$ para $(x,y)\in \Omega $. Entonces, $h(\Omega )=D$, donde $D$ es el triángulo
que aparece del lado izquierdo en la siguiente figura \ref{fig:147}.

\begin{figure} \centering 
%original-width 221pt;original-height 120pt;
\includegraphics[width=304pt,height=167pt]{./img-old/09/HYVU3D04}
\caption{figura 147}
\label{fig:147}
\end{figure}

Pero, la función que nos sirve a nosotros es la inversa de $h$. Sea $g(u,v)=h^{-1}(u,v)=(x,y)$. Veamos quién es $g$. Como
\[
u=y-x\text{ y }v=y+x\Rightarrow u+v=2y\text{ }\mathbf{\therefore }\text{ }y=\frac{u+v}{2}.
\]

\noindent entonces
\[
u=\frac{u+v}{2}-x\Rightarrow x=\frac{u+v}{2}-u\text{ }\mathbf{\therefore }\text{ }x=\frac{v-u}{2}
\]

\noindent así,
\[
g(u,v)=\left( \frac{v-u}{2},\frac{u+v}{2}\right) \text{ con }-2\leq u\leq 2\text{ y }0\leq v\leq 2.
\]

\noindent Como
\[
\left\vert \det Dg(u,v)\right\vert =\left\vert \det \left( 
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right) \right\vert =\left\vert -\frac{1}{2}\right\vert =\frac{1}{2}>0
\]


\noindent entonces,
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{D} f(\left( \frac{v-u}{2},\frac{u+v}{2}\right) \frac{1}{2}= \int_{D} \left( e^{\frac{-u}{v}}\right) 
\frac{1}{2}
\]

Nótese que si $y=2-x$, entonces $x+y=2$ y $v=2$; y, si $0\leq v\leq 2$,
entonces $-2\leq u\leq 2$ y, por tanto, $-v\leq u\leq v$ Así que
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{D} \left( e^{\frac{u}{-v}}\right) \frac{1}{2}=\int_{0}^{2} \left( \int_{-v}^{v} \left( e^{\frac{u}{-v}}\right) \frac{1}{2}du\right) dv
\]
\[
 =\int_{0}^{2} \left( \int_{-v}^{v} \left( e^{\frac{u}{-v}}\right) \frac{1}{2}du\right) dv=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \left( -ve^{\frac{u}{-v}}\right) _{-v}^{v}dv
\]
\[
 =\frac{1}{2}\int_{0}^{2} -v(e^{-1}-e^{1})dv=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} v(e^{1}-e^{-1})dv
\]
\[
 =\frac{1}{2}\frac{2^{2}}{2}(e^{1}-e^{-1})=e-e^{-1}
\]


6. Calcular $ \int_{D} z$, con $D$ delimitado por el cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ con centro en $(0,0,0)$, sobre el plano $x$-$y$ y por abajo de
\[
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\text{, para }0\leq z\leq 1.
\]


Solución. $D$ es la figura delimitada por el cono y el cilindro, como en
la siguiente figura \ref{fig:148}:

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 214pt;original-height 133pt;
\includegraphics[width=324pt,height=212pt]{./img-old/09/HYVU3D05}
\caption{figura 148}
\label{fig:148}
\end{figure}

Haciendo el cambio de variables con coordenadas cilíndricas,
\[
g(\theta ,r,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)
\]

\noindent para que el círculo de la base del cilindro esté
completo, necesitamos que $0\leq \theta \leq 2\pi $ y $0\leq r\leq 1$; y
tenemos que $z$ varia de $0$ a $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r$; o sea
que, $0\leq z\leq r$. De forma que, si $\theta =0$, en el plano $r-z$
tenemos la identidad; $B$ nos queda como un cubo rebanado por la mitad, como
se muestra al lado derecho de la figura anterior. Entonces:
\[
  \int_{D=g(B)} z= \int_{B} zr=\int_{0}^{2\pi } \left( \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{r} zrdz\right) dr\right) d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \left( \int_{0}^{1} \left( r\frac{z^{2}}{2}\right) _{z=0}^{z=r}dr\right) d\theta =\int_{0}^{2\pi } \left( \int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{2}dr\right) d\theta =\int_{0}^{2\pi } \left( \frac{r^{4}}{8}\right) _{0}^{1}d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \frac{1}{8}d\theta =\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}
\]


7. $ \int_{D} e^{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}$
con $D$ la bola unitaria en $\mathbb{R}^{3}$.\medskip

Haciendo cambio de variables con coordenadas cilíndricas,
\[
 g(\theta ,\alpha ,\rho )=(\rho \cos \alpha \cos \theta ,\rho \cos \alpha
\sin \theta ,\rho \sin \alpha )
\]
y
\[
f(x,y,z)=e^{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}
\]

\noindent entones
\[
 f(\rho \cos \alpha \cos \theta ,\rho \cos \alpha \sin \theta ,\rho \sin
\alpha )=e^{\rho ^{3}}
\]

\noindent con $0\leq \theta \leq 2\pi $, $-\frac{\pi }{2}\leq \alpha \leq 
\frac{\pi }{2}$ y $0\leq \rho \leq 1$; llamemos $B$ a este rectángulo en 
$\mathbb{R}^{3}$. Entonces
\[
  \int_{D} e^{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}= \int_{B} e^{\rho ^{3}}\left\vert \rho ^{2}\cos \alpha \right\vert 
\]
\[
=\int_{0}^{1} \left( \int _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left( \int_{0}^{2\pi } e^{\rho
^{3}}\left\vert \rho ^{2}\cos \alpha \right\vert d\theta \right) d\alpha
\right) d\rho 
\]
\[
 =\int_{0}^{1} \left( \int _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left( e^{\rho ^{3}}\left\vert \rho ^{2}\cos \alpha
\right\vert 2\pi \right) d\alpha \right) d\rho 
\]
\[
=\int_{0}^{1} \left[ e^{\rho ^{3}}\left\vert \rho
^{2}\sin \frac{\pi }{2}\right\vert 2\pi -e^{\rho ^{3}}\left\vert \rho
^{2}\sin \frac{-\pi }{2}\right\vert 2\pi \right] d\rho =\int_{0}^{1} 4\pi e^{\rho ^{3}}\rho ^{2}d\rho 
\]
\[
 =\left( \frac{4}{3}\pi e^{\rho ^{3}}\right) _{0}^{1}=\frac{4}{3}\pi (e-1)
\]


8. Encontrar el volumen entre el plano coordenado $x$-$y$ y el paraboloide $z=2-x^{2}-y^{2}$. Vea la figura \ref{fig:paraboloide-xy}

\begin{figure} \centering 
%original-width 157pt;original-height 161pt;
\includegraphics[width=200pt,height=204pt]{./img-old/09/HYVU3E06}
\caption{figura 149}
\label{fig:paraboloide-xy}
\end{figure}

Sea $z=f(x,y)=2-x^{2}-y^{2}$. Entonces $f$ está definida sobre el
circulo de radio $r=\sqrt{2}$. Cambiando a coordenadas polares
\[
g(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\text{, con }0\leq r\leq \sqrt{2}\text{ y }0\leq \theta \leq 2\pi .
\]

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 214pt;original-height 105pt;
\includegraphics[width=187pt,height=93pt]{./img-old/09/HYVU3E07}
\caption{figura 150}
\end{figure}


\[
  \int_{\Omega =g(B)} f= \int_{B} f(r\cos \theta ,r\sin
\theta )r
\]
\[
= \int_{B} \left( 2-r^{2}\cos ^{2}\theta -r^{2}\sin ^{2}\theta
\right) r=\int_{0}^{2\pi } \left( \int _{0}^{\sqrt{2}} \left( 2-r^{2}\cos ^{2}\theta -r^{2}\sin ^{2}\theta \right)
rdr\right) d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \left( \int _{0}^{\sqrt{2}} \left( 2r-r^{3}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )\right) dr\right)
d\theta =\int_{0}^{2\pi } \left( \int _{0}^{\sqrt{2}} \left( 2r-r^{3}\right) dr\right) d\theta 
\]
\[
 =\int_{0}^{2\pi } \left( \int _{0}^{\sqrt{2}} \left( r^{2}-\frac{r^{4}}{4}\right) _{0}^{\sqrt{2}}\right) d\theta =\int_{0}^{2\pi } 1d\theta =2\pi 
\]



9. Encontrar $ \int_{\Omega } x^{2}+y^{2}$; donde $\Omega $ es el sólido acotado
 por la superficie $x^{2}+y^{2}=2z$ y el plano $z=2$. Vea la figura \ref{fig:parabol-2z}

\begin{figure} \centering 
%original-width 156pt;original-height 166pt;
\includegraphics[width=168pt,height=184pt]{./img-old/09/HYVU3E08}
\caption{Paraboloide $x^{2}+y^{2}=2z$}
\label{fig:parabol-2z}
\end{figure}

El conjunto $\Omega $ es un paraboloide más "gordo" que $x^{2}+y^{2}=z$,
con "tapa" en $z=2$.

Si $y=0$ entonces $x^{2}=2z$, $x=\sqrt{2z}$. Y, en $z=2$, $x=\sqrt{4}=2$. En
cada altura $z$, el radio del círculo es $\sqrt{2z}$. Haciendo cambio
de coordenadas con cilíndricas, $g(r,\theta ,z)=(r\cos \theta ,r\sin
\theta ,z)$, con $\theta \in \left[ 0,2\pi \right] $, $z\in \left[ 0,2\right]
$ y $r^{2}\leq 2z$, entonces $r\in \left[ 0,\sqrt{2z}\right] $

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 185pt;original-height 164pt;
\includegraphics[width=270pt,height=237pt]{./img-old/09/HYVU3E09}
\caption{figura 152}
\end{figure}

\[
  \int_{\Omega } x^{2}+y^{2}= \int_{B} \left( r^{2}\cos
^{2}\theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \right) r
\]
\[
 =\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2\pi } \left( \int _{0}^{\sqrt{2z}} r^{3}dr\right) d\theta
\right) dz==\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2\pi } \frac{\left( \sqrt{2z}\right) ^{4}}{4}d\theta \right) dz
\]
\[
 =\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2\pi } z^{2}d\theta \right) dz=\int_{0}^{2} 2\pi z^{2}dz=\frac{16\pi }{3}
\]


10. Determinar el volumen comprendido entre la esfera de radio $a$, el
cilindro recto de radio $\frac{a}{2}$ que pasa por el centro de la esfera y
el plano $XY$.

El volumen que queremos calcular es cuatro veces la parte sombreada en la
siguiente figura \ref{fig:cilindro-esfera}, vamos a llamar $\Omega $ a esta región:

\begin{figure} \centering 
%original-width 182pt;original-height 189pt;
\includegraphics[width=339pt,height=318pt]{./img-old/09/HYVU3E0A}
\caption{}
\label{fig:cilindro-esfera}
\end{figure}

Tenemos la esfera $a^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, entonces $z=\sqrt{a^{2}-(x^{2}+y^{2})}$. Hacemos $f(x,y)=z$, así que
\[
f(x,y)=\sqrt{a^{2}-(x^{2}+y^{2})}
\]

Cambiando a coordenadas polares, $g(r\cos \theta ,t\sin \theta )$, con $0\leq \theta \leq 2\pi $ y $\frac{a}{2}\leq r\leq a$.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 212pt;original-height 80pt;
\includegraphics[width=325pt,height=126pt]{./img-old/09/HYVU3E0B}
\caption{figura 154}
\end{figure}

\[
 f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\sqrt{a^{2}-(r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\sin
^{2}\theta )}=\sqrt{a^{2}-r^{2}}
\]


Vamos a calcular sólo un cuarto del volumen buscado y al final
multiplicamos todo por $4$.
\[
 \frac{\text{volumen}}{4}= \int_{\Omega } \sqrt{a^{2}-(x^{2}+y^{2})}= \int_{B} \left( \sqrt{a^{2}-r^{2}}\right) r
\]
\[
 =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \left( \int _{\frac{a}{2}}^{a} r\sqrt{a^{2}-r^{2}}dr\right) d\theta =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{\left( a^{2}-\left( \frac{a}{2}\right)
^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}{3}d\theta 
\]
\[
 =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{\left( \frac{3}{4}\right) ^{\frac{3}{2}}a^{3}}{3}d\theta =\frac{\left( \frac{3}{4}\right) ^{\frac{3}{2}}a^{3}}{3}\frac{\pi }{2}=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi a^{3}
\]

\noindent multiplicado todo por $4$, el volumen buscado es $\frac{\sqrt{3}}{4}\pi a^{3}$


\section{Ejercicios}


1. Sea $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{2}$ un conjunto abierto conexo, acotado
en el plano $u,v$. Sea $T(u,v)=(u,\varphi (u,v))=(x,y)$, con $\varphi $ de
clase $C^{1}$ en $\Omega $ y $\frac{\partial \varphi }{\partial v}\neq 0$ en 
$\Omega $. Sea $A=T(\Omega )$ acotado y $f:A\rightarrow \mathbb{R}$
continua. Con una hipótesis adicional se concluye fácilmente que
\[
  \int_{A} f(x,y)= \int_{\Omega } f(u,\varphi
(u,v)\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial v}\right\vert  .
\]

\noindent Decir cuál es la hipótesis adicional (o hipótesis
adicionales) y demostrar la igualdad.

\bigskip

2. a) Sea $I(r)=\int_{-r}^{r} e^{-u^{2}}du$

\noindent i) Demostrar que
\[
\left[ I(r)\right] ^{2}= \int_{A} e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }
\]

\noindent con $A=[-r,r]\times \lbrack -r,r]$

\noindent ii) Si $C_{1}$ y $C_{2}$ son los discos circulares inscrito y
circunscrito a $A$, demostrar:
\[
  \int_{C1} e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }\leq \left[ I(r)\right]
^{2}\leq \int_{C_{2}} e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }
\]

\noindent (Nótese que $C_{1}\subseteq A\subseteq C_{2}$)

\noindent iii) Calcular las integrales sobre $C_{1}$ y $C_{2}$ en
coordenadas polares. Calcular $\lim _{r\rightarrow \infty } I(r)$
para deducir que
\[
\int_{0}^{\infty } e^{-u}du=\frac{\sqrt{\pi }}{2}
\]

\noindent b) Calcular la integral doble
\[
 I(p,r)= \int_{\Omega } \frac{1}{\left( p^{2}+x^{2}+y^{2}\right)
^{p}}
\]


\noindent donde $\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \mid x^{2}+y^{2}\leq
1\right\} $. Demostrar que $\lim _{r\rightarrow \infty } I(p,r)$
existe si $p>1$. (Usar coordenadas polares; distinguir los casos para $p=1$
y $p\neq 1$)$.$

\bigskip

3. Evaluar la integral
\[
 \int_{A} \frac{1}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\]

\noindent donde $A$ es la región encerrada por un lazo de la lemiscata $\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}-(x^{2}-y^{2})=0$. Dibujar el conjunto $A$.
(Las lemiscatas son como "ochos". Averiguar exactamente cómo se definen).

\bigskip

4. Calcular las siguientes integrales:

\noindent \medskip a) $ \int_{\Omega } (x-y)^{2}\sin ^{2}(x+y)$,
con $\Omega $ el paralelogramo con vértices en $(\pi ,0)$, $(0,\pi )$, $(\pi ,2\pi )$ y $(2\pi ,\pi )$

\noindent \medskip b) $ \int_{\Omega } \left\vert xyz\right\vert $,
con $\Omega $ el elipsoide $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\leq 1$

\noindent (Primero hacer un cambio de variables $g(\xi ,\eta ,\zeta )=(a\xi
,b\eta ,c\zeta )=(x,y,z)$; y, luego cambiar a coordenadas esféricas).

\noindent \medskip c) $ \int_{\Omega } \left(
x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) xyz$ con $\Omega $ la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq
1$ (la solución es $0$).

\noindent \medskip d) $ \int_{\Omega } \frac{1}{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}$, con $\Omega $ la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1$
(Usar coordenadas esféricas. Solución: $\pi \left[ 2-\frac{3}{2}\log
3\right] $)

\noindent \medskip e) $ \int_{\Omega } \left( y^{2}+z^{2}\right) $,
con $\Omega $ un cono recto de revolución de altura $h$, base en el
plano cartesiano $XY$, radio $a$ y eje en el eje $z$. (Cambiar a
coordenadas cilíndricas).

\bigskip

5. Encontrar el volumen común a los dos cilindros $x^{2}+z^{2}<1$ y $y^{2}+z^{2}<1$ (¿ Cómo se cruzan los dos tubos? Mostrar
que $\frac{1}{16}$ del volumen se encuentra por encima del triángulo con
vértices en $(0,0)$, $\left( 1,0\right) $ y $\left( 1,1\right) $.)

\bigskip

6. Calcular el volumen del sólido limitado por encima de la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$ y por abajo del paraboloide $x^{2}+y^{2}=4z$.

\bigskip

7. Calcular el volumen del sólido limitado por el plano $XY$, el
cilindro $x^{2}+y^{2}=2x$ y el cono $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
